9.1 Introduction to Linear Higher Order Equations
- 2
\(y=\dst{2x^2-3x^3+{1\over x}}\)
- 3
\(y=2e^x+3e^{-x}-e^{2x}+e^{-3x}\)
- 4
\(\dst{y_i={(x-x_0)^{i-1}\over(i-1)!},\,1\le i \le n}\)
- 5
(b) \(\dst{ y_1=-{1\over2}x^3+x^2+{1\over2x}, \quad y_2={1\over3}x^2-{1\over3x},\quad y_3={1\over4} x^3-{1\over 3}x^2+{1\over12x}}\)
(c) \(y=k_0y_1+k_1y_2+k_2 y_3\)
- 7
\(2e^{-x^2}\)
- 8
\(\sqrt{2} K\cos x\)
- 9
(a) \(W(x)=2e^{3x}\) (d) \(y=e^x(c_1+c_2x+c_3x^2)\)
- 10
(a) \(2\) (b) \(-e^{3x}\)(c) \(4\) (d) \(4/x^2\) (e) \(1\) (f) \(2x\) (g) \(2/x^2\)(h) \(e^x(x^2-2x+2)\)
(i) \(-240/x^5\) (j) \(6e^{2x}(2x-1)\)(l) \(-128x\)
- 24
(a) \(y'''=0\) (b) \(xy'''-y''-xy'+y=0\) (c) \((2x-3)y'''-2y''-(2x-5)y'=0\)
(d) \((x^2-2x+2)y'''-x^2y''+2xy'-2y=0\) (e) \(x^3y'''+x^2y''-2xy'+2y=0\)
(f) \((3x-1)y'''-(12x-1)y''+9(x+1)y'-9y=0\)
(g) \(x^4y^{(4)}+5x^3y'''-3x^2y''-6xy'+6y=0\)
(h) \(x^4y^{(4)}+3x^2y'''-x^2y''+2xy'-2y=0\)
(i) \((2x-1)y^{(4)}-4xy'''+(5-2x)y''+4xy'-4y=0\)
(j) \(xy^{(4)}-y'''-4xy''+4y'=0\)
9.2 Higher Order Constant Coefficient Homogeneous Equations
- 1
\(y=e^x(c_1+c_2x+c_3x^2)\)
- 2
\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos3x+c_4\sin3x\)
- 3
\(y=c_1e^x+c_2\cos4x+c_3\sin4x\)
- 4
\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3e^{-3x/2}\)
- 5
\(y=c_1e^{-x}+e^{-2x}(c_1\cos x+c_2\sin x)\)
- 6
\(y=c_1e^x+e^{x/2}(c_2+c_3x)\)
- 7
\(y=e^{-x/3}(c_1+c_2x+c_3x^2)\)
- 8
\(y=c_1+c_2x+c_3\cos x+c_4\sin x\)
- 9
\(y=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+c_3\cos2x+c_4\sin2x\)
- 10
\(y=(c_1+c_2x)\cos\sqrt{6} x+(c_3+c_4x)\sin\sqrt{6} x\)
- 11
\(y=e^{3x/2}(c_1+c_2x)+e^{-3x/2}(c_3+c_4x)\)
- 12
\(y=c_1e^{-x/2}+c_2e^{-x/3}+c_3\cos x+c_4\sin x\)
- 13
\(y=c_1e^x+c_2e^{-2x}+c_3e^{-x/2}+c_4e^{-3x/2}\)
- 14
\(y=e^x(c_1+c_2x+c_3\cos x+c_4\sin x)\)
- 15
\(y=\cos2x-2\sin2x+e^{2x}\)
- 16
\(y=2e^x+3e^{-x}-5e^{-3x}\)
- 17
\(y=2e^x+3xe^x-4e^{-x}\)
- 18
\(y=2e^{-x}\cos x-3e^{-x}\sin x+4e^{2x}\)
- 19
\(y=\dst{9\over5}e^{-5x/3}+e^x(1+2x)\)
- 20
\(y=e^{2x}(1-3x+2x^2)\)
- 21
\(y=e^{3x}(2-x)+4e^{-x/2}\)
- 22
\(y=e^{x/2}(1-2x)+3e^{-x/2}\)
- 23
\(y=\dst{1\over8}(5e^{2x}+e^{-2x}+10\cos2x+4\sin2x)\)
- 24
\(y=-4e^x+e^{2x}-e^{4x}+2e^{-x}\)
- 25
\(y=2e^x-e^{-x}\)
- 26
\(y=e^{2x}+e^{-2x}+e^{-x}(3\cos x+\sin x)\)
- 27
\(y=2e^{-x/2}+\cos2x-\sin2x\)
- 28
(a) \(\{e^x,\,xe^x,\; e^{2x}\}:\; 1\) (b) \(\{\cos2x,\,\sin2x,\,e^{3x}\}: \; 26\)
(c) \(\{e^{-x}\cos x,\,e^{-x}\sin x,\,e^x\}: \; 5\) (d) \(\{1,\,x,\,x^2,\,e^x\} \; 2e^x\)
(e) \(\{e^x,\,e^{-x},\,\cos x,\,\sin x\} \-8\) (f) \(\{\cos x,\,\sin x,\,e^x\cos x,\,e^x\sin x\}:\; 5\)
- 29
\(\{e^{-3x}\cos2x,\,e^{-3x}\sin2x,\,e^{2x},\,xe^{2x},\,1,\, x,\,x^2\}\)
- 30
\(\{e^x,\,xe^x,\,e^{x/2},\,xe^{x/2},\,x^2e^{x/2},\,\cos x,\,\sin x\}\)
- 31
\(\{\cos3x,\,x\cos3x,\,x^2\cos3x,\,\sin3x,\,x\sin3x, \,x^2\sin3x,\,1,\,x\}\)
- 32
\(\{e^{2x},\,xe^{2x},\,x^2e^{2x},\,e^{-x},\,xe^{-x},\,1\}\)
- 33
\(\{\cos x,\,\sin x,\,\cos3x,\,x\cos 3x,\,\sin3x,\,x\sin3x, \,e^{2x}\}\)
- 34
\(\{e^{2x},\,xe^{2x},\,e^{-2x},\,xe^{-2x},\,\cos2x,\,x\cos2x, \,\sin2x,\,x\sin2x\}\)
- 35
\(\{e^{-x/2}\cos2x,\,xe^{-x/2}\cos2x,\,x^2e^{-x/2}\cos2x ,\,e^{-x/2}\sin2x,\,xe^{-x/2}\sin2x\),
\(x^2e^{-x/2}\sin2x\}\)
- 36
\(\{1,\,x,\,x^2,\,e^{2x},\,xe^{2x},\,\cos2x,\,x\cos2x,\,\sin2x,\,x\sin2x\}\)
- 37
\(\{\cos(x/2),\,x\cos(x/2),\,\sin(x/2),\,x\sin(x/2),\,\cos2x/3\,\,x\cos(2x/3)\),
\(x^2\cos(2x/3),\,\sin(2x/3),\,x\sin(2x/3),\,x^2\sin(2x/3)\}\)
- 38
\(\{e^{-x},\,e^{3x},\,e^x\cos2x,\,e^x\sin2x\}\)
- 39
(b) \(\dst{e^{(a_1+a_2+\cdots+a_n)x}\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)}\)
- 43
(a) \(\dst\left\{e^x,\,e^{-x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{-x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right)\right\}\) (b) \(\dst\left\{e^{-x},\,e^{x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right)\right\}\)
(c) \(\{e^{2x}\cos2x,\,e^{2x}\sin2x,\,e^{-2x}\cos2x,\,e^{-2x}\sin2x\}\)
(d) \(\dst\left\{e^x,\,e^{-x} ,\,e^{x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{-x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{-x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right)\right\}\)
(e) \(\{\cos2x,\,\sin2x,\,e^{-\sqrt3x}\cos x,\,e^{-\sqrt3x}\sin x ,\,e^{\sqrt3x}\cos x,\,e^{\sqrt3x}\sin x\}\)
(f) \(\dst\left\{1,\,e^{2x} ,\,e^{3x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{3x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right)\right\}\)
(g) \(\dst\left\{e^{-x} ,\,e^{x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{-x/2}\cos\left({\sqrt3\over2}x\right), \,e^{-x/2}\sin\left({\sqrt3\over2}x\right)\right\}\)
- 45
\(y=c_1x^{r_1}+c_2x^{r_2}+c_3x^{r_3}\; (r_1, r_2, r_3\) distinct); \(y=c_1x^{r_1}+(c_2+c_3 \ln x)x^{r_2}\; (r_1, r_2 \)
\(\mbox{distinct});\) \(y=[c_1+c_2 \ln x+c_3(\ln x)^2]x^{r_1}\); \(y=c_1x^{r_1}+x^\lambda [c_2\cos(\omega \ln x)+c_3\sin (\omega \ln x)]\)
9.3 Undetermined Coefficients for Higher Order Equations
- 1
\(y_p=e^{-x}(2+x-x^2)\)
- 2
\(y_p=-\dst{e^{-3x}\over4}(3-x+x^2)\)
- 3
\(y_p=e^x(1+x-x^2)\)
- 4
\(y_p=e^{-2x}(1-5x+x^2)\).
- 5
\(y_p=-\dst{xe^x\over2}(1-x+x^2-x^3)\)
- 6
\(y_p=x^2e^x(1+x)\)
- 7
\(y_p=\dst{xe^{-2x}\over2}(2+x)\)
- 8
\(y_p=\dst{x^2e^x\over2}(2+x)\)
- 9
\(y_p=\dst{x^2e^{2x}\over2}(1+2x)\)
- 10
\(y_p=x^2e^{3x}(2+x-x^2)\)
- 11
\(y_p=x^2e^{4x}(2+x)\)
- 12
\(y_p=\dst{x^3e^{x/2}\over48}(1+x)\)
- 13
\(y_p=e^{-x}(1-2x+x^2)\)
- 14
\(y_p=e^{2x}(1-x)\)
- 15
\(y_p=e^{-2x}(1+x+x^2-x^3)\)
- 16
\(y_p=\dst{e^x\over3}(1-x)\)
- 17
\(y_p=e^x(1+x)^2\)
- 18
\(y_p=xe^x(1+x^3)\)
- 19
\(y_p=xe^x(2+x)\)
- 20
\(y_p=\dst{xe^{2x}\over6}(1-x^2)\)
- 21
\(y_p=4xe^{-x/2}(1+x)\)
- 22
\(y_p=\dst{xe^x\over6}(1+x^2)\)
- 23
\(y_p=\dst{x^2e^{2x}\over6}(1+x+x^2)\)
- 24
\(y_p=\dst{x^2e^{2x}\over6}(3+x+x^2)\)
- 25
\(y_p=\dst{x^3e^x\over48}(2+x)\)
- 26
\(y_p=\dst{x^3e^x\over6}(1+x)\)
- 27
\(y_p=-\dst{x^3e^{-x}\over6}(1-x+x^2)\)
- 28
\(y_p=\dst{x^3e^{2x}\over12}(2+x-x^2)\)
- 29
\(y_p=e^{-x}\left[(1+x)\cos x+(2-x)\sin x\right]\)
- 30
\(y_p=e^{-x}\left[(1-x)\cos2x+(1+x)\sin2 x\right]\)
- 31
\(y_p=e^{2x}[(1+x-x^2)\cos x+(1+2x)\sin x]\)
- 32
\(y_p=\dst{e^x\over2}[(1+x)\cos 2x+(1-x+x^2)\sin2x]\)
- 33
\(y_p=\dst{x\over13}(8\cos2x+14\sin2x)\)
- 34
\(y_p=xe^x[(1+x)\cos x+(3+x)\sin x]\)
- 35
\(y_p=\dst{xe^{2x}\over2}[(3-x)\cos 2x+\sin2x]\)
- 36
\(y_p=-\dst{xe^{3x}\over12}(x\cos 3x+\sin3x)\)
- 37
\(y_p=-\dst{e^x\over10}(\cos x+7\sin x)\)
- 38
\(y_p=\dst{e^x\over12}(\cos2x-\sin2x)\)
- 39
\(y_p=xe^{2x}\cos2x\)
- 40
\(y_p=-\dst{e^{-x}\over2}[(1+x)\cos x+(2-x)\sin x]\)
- 41
\(y_p=\dst{xe^{-x}\over10}(\cos x+2\sin x)\)
- 42
\(y_p=\dst{xe^x\over40}(3\cos2x-\sin2x)\)
- 43
\(y_p=\dst{xe^{-2x}\over8}[(1-x)\cos 3x+(1+x)\sin3x]\)
- 44
\(y_p=-\dst{xe^x\over4}(1+x)\sin2x\)
- 45
\(y_p=\dst{x^2e^{-x}\over4}(\cos x-2\sin x)\)
- 46
\(y_p=-\dst{x^2e^{2x}\over32}(\cos2x-\sin2x)\)
- 47
\(y_p=\dst{x^2e^{2x}\over8}(1+x)\sin x\)
- 48
\(y_p=2x^2e^x+xe^{2x}-\cos x\)
- 49
\(y_p=e^{2x}+xe^x+2x\cos x\)
- 50
\(y_p=2x+x^2+2xe^x-3xe^{-x}+4e^{3x}\)
- 51
\(y_p=xe^x(\cos2x-2\sin2x)+2xe^{2x}+1\)
- 52
\(y_p=x^2e^{-2x}(1+2x)-\cos2x+\sin2x\)
- 53
\(y_p=2x^2(1+x)e^{-x}+x\cos x-2\sin x\)
- 54
\(y_p=2xe^x+xe^{-x}+\cos x\)
- 55
\(y_p=\dst{xe^x\over6}(\cos x+\sin2x)\)
- 56
\(y_p=\dst{x^2\over54}[(2+2x)e^x+3e^{-2x}]\)
- 57
\(y_p=\dst{x\over8}\sinh x\sin x\)
- 58
\(y_p=x^3(1+x)e^{-x}+xe^{-2x}\)
- 59
\(y_p=xe^x(2x^2+\cos x+\sin x)\)
- 60
\(y=e^{2x}(1+x)+c_1e^{-x}+e^x(c_2+c_3x)\)
- 61
\(y=e^{3x}\dst\left(1-x-{x^2\over2}\right)+ c_1e^x+e^{-x}(c_2\cos x+c_3\sin x)\)
- 62
\(y=xe^{2x}(1+x)^2+c_1e^x+c_2e^{2x}+c_3e^{3x}\)
- 63
\(y=x^2e^{-x}(1-x)^2+c_1 +e^{-x}(c_2+c_3x)\)
- 64
\(y=\dst{x^3e^x\over24}(4+x) +e^x(c_1+c_2x+c_3x^2)\)
- 65
\(y=\dst{x^2e^{-x}\over16}(1+2x-x^2) +e^x(c_1+c_2x)+e^{-x}(c_3+c_4x)\)
- 66
\(y=e^{-2x}\dst{\left[\left(1+{x\over2}\right) \cos x+\left({3\over2}-2x\right)\sin x\right]} +c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3e^{-2x}\)
- 67
\(y=-xe^x\sin2x+c_1+c_2e^x +e^x(c_3\cos x+c_4\sin x)\)
- 68
\(y=-\dst{x^2e^x\over16}(1+x)\cos2x +e^x\left[(c_1+c_2x)\cos2x+(c_3+c_4x)\sin2x\right]\)
- 69
\(y=(x^2+2)e^x-e^{-2x}+e^{3x}\)
- 70
\(y=e^{-x}(1+x+x^2) +(1-x)e^x\)
- 71
\(y=\dst\left({x^2\over12}+16\right)xe^{-x/2} -e^x\)
- 72
\(y=(2-x)(x^2+1)e^{-x}+\cos x-\sin x\)
- 73
\(y=(2-x)\cos x-(1-7x)\sin x+e^{-2x}\)
- 74
\(2 +e^x\left[(1+x)\cos x-\sin x-1\right]\)
9.4 Variation of Parameters for Higher Order Equations
- 1
\(y_p=2x^3\)
- 2
\(y_p=\dst{8\over 105}x^{7/2} e^{-x^2}\)
- 3
\(y_p=x\ln|x|\)
- 4
\(y_p=\dst{-{2(x^2+2)\over x}}\)
- 5
\(y_p=\dst{-{xe^{-3x}\over64}}\)
- 6
\(y_p=-\dst{2x^2\over3}\)
- 7
\(y_p=-\dst{e^{-x}(x+1)\over x}\)
- 8
\(y_p=2x^2\ln|x|\)
- 9
\(y_p=x^2+1\)
- 10
\(y_p=\dst{2x^2+6\over3}\)
- 11
\(y_p=\dst{x^2\ln|x|\over3}\)
- 12
\(y_p=-x^2-2\)
- 13
\(\dst{{1\over 4} x^3 \ln |x|-{25\over 48}x^3}\)
- 14
\(y_p=\dst{x^{5/2}\over4}\)
- 15
\(y_p=\dst{x(12-x^2)\over6}\)
- 16
\(y_p=\dst{x^4\ln|x|\over6}\)
- 17
\(y_p=\dst{x^3e^x\over2}\)
- 18
\(y_p= x^2\ln|x|\)
- 19
\(y_p=\dst{xe^x\over2}\)
- 20
\(y_p=\dst{3xe^x\over2}\)
- 21
\(y_p=-x^3\)
- 22
\(y=-x(\ln x)^2+3x+x^3-2x\ln x\)
- 23
\(y=\dst{x^3\over 2} (\ln |x|)^2+x^2-x^3+2x^3\ln|x|\)
- 24
\(y=\dst{-{1\over 2}(3x+1)xe^x-3e^x-e^{2x} +4xe^{-x}}\)
- 25
\(y=\dst{{3\over 2}x^4(\ln x)^2+3x-x^4+2x^4\ln x}\)
- 26
\(y=\dst{-{x^4+12\over6}+3x-x^2+2e^x}\)
- 27
\(y=\dst{\left({x^2\over3}-{x\over2}\right)\ln|x|+4x-2x^2}\)
- 28
\(y=\dst{-{xe^x(1+3x)\over2}+{x+1\over2}-{e^x\over4}+{e^{3x}\over2}}\)
- 29
\(y=-8x+2x^2-2x^3+2e^x-e^{-x}\)
- 30
\(y=3x^2\ln x-7x^2\)
- 31
\(y=\dst{{3(4x^2+9)\over2}+{x\over2}-{e^x\over2}+{e^{-x}\over2}+{e^{2x}\over4}}\)
- 32
\(y=x\ln x+x-\sqrt x+\dst{1\over x}+{1\over\sqrt x}\).
- 33
\(y=\dst{x^3\ln|x|+x-2x^3+{1\over x}-{1\over x^2}}\)
- 35
\(y_p=\dst{\int_{x_0}^x {e^{(x-t)}-3e^{-(x-t)}+2e^{-2(x-t)}\over6} F(t)\,dt}\)
- 36
\(y_p=\dst{\int_{x_0}^x {(x-t)^2(2x+t)\over6xt^3} F(t)\,dt}\)
- 37
\(y_p=\dst{\int_{x_0}^x {xe^{(x-t)}-x^2+x(t-1)\over t^4} F(t)\,dt}\)
- 38
\(y_p=\dst{\int_{x_0}^x {x^2-t(t-2)-2te^{(x-t)}\over 2x(t-1)^2} F(t)\,dt}\)
- 39
\(y_p=\dst{\int_{x_0}^x {e^{2(x-t)}-2e^{(x-t)}+2e^{-(x-t)}-e^{-2(x-t)}\over12 } F(t)\,dt}\)
- 40
\(y_p=\dst{\int_{x_0}^x {(x-t)^3\over6x} F(t)\,dt}\)
- 41
\(y_p=\dst\int_{x_0}^x{(x+t)(x-t)^3\over12x^2t^3}F(t)\,dt\)
- 42
\(y_p=\dst{\int_{x_0}^x {e^{2(x-t)}(1+2t)+e^{-2(x-t)}(1-2t)-4x^2+4t^2-2\over32t^2} F(t)\,dt}\)