Chapter 11 Boundary Value Problems and Fourier Expansions

11.1 Eigenvalue Problems for $y''+\lambda y=0$

2
$\lambda_n=n^2$, $y_n=\sin nx$, $n=1$, $2$, $3$, …
3
$\lambda_0=0$, $y_0=1$; $\lambda_n=n^2$, $y_n=\cos n x$, $n=1$, $2$, $3$, …
4
$\lambda_n=\dst{(2n-1)^2\over4}$, $y_n=\dst\sin{(2n-1) x\over2}$, $n=1,2,3,\dots,$
5
$\lambda_n=\dst{(2n-1)^2\over4}$, $y_n=\dst\cos{(2n-1) x\over2}$, $n=1$, $2$, $3$, …
6
$\lambda_0=0$, $y_0=1$, $\lambda_n=n^2$, $y_{1n}=\cos nx$, $y_{2n}=\sin nx$, $n=1$, $2$, $3$, …
7
$\lambda_n=n^2\pi^2$, $y_n=\cos n\pi x$, $n=1$, $2$, $3$, …
8
$\lambda_n=\dst{(2n-1)^2\pi^2\over4}$, $y_n=\dst\cos{(2n-1)\pi x\over2}$, $n=1$, $2$, $3$, …
9
$\lambda_n=n^2\pi^2$, $y_n=\sin n\pi x$, $n=1$, $2$, $3$, …
10
$\lambda_0=0$, $y_0=1$, $\lambda_n=n^2\pi^2$, $y_{1n}=\cos n\pi x$, $y_{2n}=\sin n\pi x$, $n=1$, $2$, $3$, …
11
$\lambda_n=\dst{(2n-1)^2\pi^2\over4}$, $y_n=\dst\sin{(2n-1)\pi x\over2}$, $n=1$, $2$, $3$, …
12
$\lambda_0=0$, $y_0=1$, $\lambda_n=\dst{n^2\pi^2\over4}$, $y_{1n}=\dst\cos{n\pi x\over2}$, $y_{2n}=\dst\sin{n\pi x\over2}$, $n=1$, $2$, $3$, …
13
$\lambda_n=\dst{n^2\pi^2\over4}$, $y_n=\dst\sin{n\pi x\over2}$, $n=1$, $2$, $3$, …
14
$\lambda_n=\dst{(2n-1)^2\pi^2\over36}$, $y_n=\dst\cos{(2n-1)\pi x\over6}$, $n=1$, $2$, $3$, …
15
$\lambda_n=(2n-1)^2\pi^2$, $y_n=\sin(2n-1)\pi x$, $n=1$, $2$, $3$, …
16
$\lambda_n=\dst{n^2\pi^2\over 25}$, $y_n=\dst\cos{n\pi x\over5}$, $n=1$, $2$, $3$, …
23
$\lambda_n=4n^2\pi^2/L^2$ $y_n=\dst\sin{2n\pi x\over L}$, $n=1$, $2$, $3$, …
24
$\lambda_n=n^2\pi^2/L^2$ $y_n=\dst\cos{ n\pi x\over L}$, $n=1$, $2$, $3$, …
25
$\lambda_n=4n^2\pi^2/L^2$ $y_n=\dst\sin{2n\pi x\over L}$, $n=1$, $2$, $3$, …
26
$\lambda_n=n^2\pi^2/L^2$ $y_n=\dst\cos {n\pi x\over L}$, $n=1$, $2$, $3$, ….

11.2 Fourier Expansions I

2
$F(x)=\dst2+{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n}\sin n\pi x$; $F(x)= \left\{\begin{array}{cl} 2,&\phantom{-}x=-1,\\2-x,&-1<x<1,\\2,&\phantom{-}x=1 \end{array}\right.$
3
$F(x)=\dst-\pi^2-12\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^2}\cos nx -4\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n}\sin nx$;

$F(x)= \left\{\begin{array}{cl} -3\pi^2,&\phantom{-}x=-\pi,\\2x-3x^2,&-\pi<x<\pi,\\ -3\pi^2,&\phantom{-}x=\pi \end{array}\right.$
4
$F(x)=-\dst{12\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n{\cos n\pi x\over n^2}$; $F(x)=1-3x^2$ $-1\le x\le 1$
5
$F(x)=\dst{2\over\pi}-{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over4n^2-1}\cos2nx$; $F(x)=|\sin x|$, $-\pi\le x\le\pi$
6
$F(x)=\dst-{1\over2}\sin x+2\sum_{n=2}^\infty(-1)^n {n\over n^2-1}\sin nx$;; $F(x)=x\cos x$, $-\pi\le x\le\pi$
7
$F(x)=\dst-{2\over\pi}+{\pi\over2}\cos x-{4\over\pi} \sum_{n=1}^\infty{4n^2+1\over(4n^2-1)^2}\cos 2nx$;

$F(x)=|x|\cos x$, $-\pi\le x\le\pi$
8
$F(x)=\dst1-{1\over2}\cos x-2\sum_{n=2}^\infty {(-1)^n\over n^2-1}\cos nx$; $F(x)=x\sin x$, $-\pi\le x\le\pi$
9
$F(x)=\dst{\pi\over2}\sin x-{16\over\pi} \sum_{n=1}^\infty{n\over(4n^2-1)^2}\sin 2nx$; $F(x)=|x|\sin x$, $-\pi\le x\le\pi$
10
$F(x)=\dst{1\over\pi}+{1\over2}\cos\pi x-{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over4n^2-1}\cos2n\pi x$; $F(x)=f(x)$, $-1\le x\le1$
11
$F(x)=\dst{{1\over4\pi}\sin\pi x-{8\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty (-1)^n{n\over(4n^2-1)^2}\sin2n\pi x}$;

$\dst{-{1\over4\pi}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n(n+1)}\sin(2n+1)\pi x}$ $F(x)=f(x)$, $-1\le x\le1$
12
$F(x)=\dst{1\over2}\sin\pi x-{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty (-1)^n{n\over4n^2-1}\sin2n\pi x$; $F(x)= \left\{\begin{array}{cl} \phantom{-}0,&-1\le x<{1\over2},\\ -{1\over2},&\phantom{-}x=-{1\over2},\\ \phantom{-}\sin\pi x,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ \phantom{-}{1\over2},&\phantom{-}x={1\over2},\\ \phantom{-}0,&\phantom{-}{1\over2}<x\le1\\ \end{array}\right.$
13
$F(x)=\dst{1\over\pi}+{1\over\pi}\cos\pi x-{2\over\pi} \sum_{n=2}^\infty{1\over n^2-1}\left(1-n\sin{n\pi\over2}\right) \cos n\pi x$;

$F(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-1\le x<{1\over2},\\ {1\over2},&\phantom{-}x=-1,\\ |\sin\pi x|,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ {1\over2},&\phantom{-}x=1,\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x\le1 \end{array}\right.$
14
$F(x)=\dst{1\over\pi^2}+{1\over4\pi}\cos\pi x+{2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty (-1)^n{4n^2+1\over(4n^2-1)^2}\cos2n\pi x$

$\dst{+{1\over4\pi}\sum_{n=1}^\infty (-1)^n{2n+1\over n(n+1)}\cos(2n+1)\pi x}$;

$F(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-1\le x<{1\over2},\\ {1\over4},&\phantom{-}x=-{1\over2},\\ x\sin\pi x,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ {1\over4},&\phantom{-}x={1\over2},\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x\le1,\\ \end{array}\right.$
15
$\dst F(x)=1-{8\over\pi^2}\sum_{n=0}^\infty{1\over(2n+1)^2}\cos{(2n+1)\pi x\over4} -{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n}\sin{n\pi x\over4}$;

$F(x)= \left\{\begin{array}{cl} 2,&\phantom{-}x=-4,\\ 0,&-4<x<0,\\ x,&\phantom{-}0\le x<4,\\ 2,&\phantom{-}x=4 \end{array}\right.$
16
$F(x)=\dst{1\over2}+{1\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over n}\sin2n\pi x +{8\over\pi^3}\sum_{n=0}^\infty{1\over(2n+1)^3}\sin(2n+1)\pi x$;

$F(x)= \left\{\begin{array}{cl} {1\over2},&\phantom{-}x=-1,\\ x^2,&-1< x<0,\\ {1\over2},&\phantom{-}x=0,\\ 1-x^2,&\phantom{-}0<x<1,\\ {1\over2},&\phantom{-}x=1 \end{array}\right.$
17
$F(x)=\dst{3\over4}+{1\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {1\over n}\sin{n\pi\over2}\cos{n\pi x\over2}+{3\over\pi} \sum_{n=1}^\infty {1\over n}\left(\cos n\pi-\cos{n\pi\over2}\right)\sin{n\pi x\over2}$
18
$F(x)=\dst{5\over2}+{3\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {1\over n}\sin{2n\pi\over3}\cos{n\pi x\over3}+{1\over\pi} \sum_{n=1}^\infty {1\over n}\left(\cos n\pi-\cos{2n\pi\over3}\right)\sin{n\pi x\over3}$
20
$F(x)=\dst{\sinh\pi\over\pi}\left( 1+2\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^2+1}\cos nx-2\sum_{n=1}^\infty{(-1)^nn\over n^2+1}\sin nx\right)$
21
$F(x)=\dst-\pi\cos x-{1\over2}\sin x+2\sum_{n=2}^\infty (-1)^n{n\over n^2-1}\sin nx$
22
$F(x)=\dst1-{1\over2}\cos x-\pi\sin x-2\sum_{n=2}^\infty {(-1)^n\over n^2-1}\cos nx$
23
$F(x)=-\dst{2\sin k\pi\over\pi}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n{n\over n^2-k^2}\sin nx$
24
$F(x)=\dst{\sin k\pi\over\pi}\left[{1\over k}-2k\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^2-k^2}\cos nx\right]$

11.3 Fourier Expansions II

1
$C(x)=\dst{L^2\over3}+{4L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^2}\cos{n\pi x\over L}$
2
$C(x)=\dst{1\over2}+{4\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^2} \cos(2n-1)\pi x$
3
$C(x)=\dst-{2L^2\over3}+{4L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2}\cos{n\pi x\over L}$
4
$C(x)=\dst{1-\cos k\pi\over k\pi}-{2k\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {[1-(-1)^n\cos k\pi]\over n^2-k^2}\cos nx$.
5
$C(x)=\dst{1\over2}-{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over2n-1}\cos{(2n-1)\pi x\over L}$
6
$C(x)=\dst-{2L^2\over3}+{4L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^2}\cos{n\pi x\over L}$
7
$C(x)=\dst{1\over3}+{4\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2}\cos n\pi x$
8
$C(x)=\dst{e^\pi-1\over\pi}+{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {[(-1)^ne^\pi-1]\over(n^2+1)}\cos nx$
9
$\dst C(x)={L^2\over6}-{L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2}\cos{2n\pi x\over L}$
10
$C(x)=\dst-{2L^2\over3}+{4L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2}\cos{n\pi x\over L}$
11
$S(x)=\dst{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)} \sin{(2n-1)\pi x\over L}$
12
$S(x)=\dst{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over n} \sin n\pi x$
13
$S(x)=\dst{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty [1-(-1)^n\cos k\pi]{n\over n^2-k^2}\sin nx$
14
$S(x)=\dst{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over n} \left[1-\cos{n\pi\over2}\right]\sin{n\pi x\over L}$
15
$S(x)=\dst{4L\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\over(2n-1)^2} \sin{(2n-1)\pi x\over L}$
16
$S(x)=\dst{\pi\over2}\sin x-{16\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{n\over(4n^2-1)^2}\sin2nx$
17
$S(x)=\dst-{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {n[(-1)^ne^\pi-1]\over(n^2+1)}\sin nx$
18
$C_M(x)=\dst-{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over2n-1} \cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
19
$C_M(x)=\dst-{4L^2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over2n-1}\left[ 1-{8\over(2n-1)^2\pi^2}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
20
$C_M(x)= -\dst{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty\left[(-1)^n+{2\over(2n-1)\pi}\right] \cos{(2n-1)\pi x\over2}$.
21
$C_M(x)=\dst-{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over2n-1}\cos{(2n+1)\pi\over4} \cos{(2n-1)\pi x\over 2L}$
22
$C_M(x)= \dst{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n{2n-1\over(2n-3)(2n+1)} \cos{(2n-1) x\over2}$
23
$C_M(x)= -\dst{8\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-3)(2n+1)} \cos{(2n-1) x\over2}$
24
$C_M(x)=-\dst{8L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^2}\left[ 1+{4(-1)^n\over(2n-1)\pi}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
25
$S_M(x)=\dst{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)} \sin{(2n-1)\pi x\over2L}$
26
$S_M(x)=\dst-{16L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^2}\left[ (-1)^n+{2\over(2n-1)\pi}\right]\sin{(2n-1)\pi x\over2L}$
27
$S_M(x)=\dst{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{1\over2n-1} \left[1-\cos{(2n-1)\pi)\over4}\right] \sin{(2n-1)\pi x\over 2L}$
28
$S_M(x)=\dst{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{2n-1\over(2n-3)(2n+1)}\sin{(2n-1) x\over2}$
29
$S_M(x)=\dst{8\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over(2n-3)(2n+1)}\sin{(2n-1) x\over2}$
30
$S_M(x)=\dst{8L^2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^2}\left[ (-1)^n+{4\over(2n-1)\pi}\right]\sin{(2n-1)\pi x\over2L}$
31
$C(x)=\dst-{7L^4\over5}-{144L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^4}\cos{n\pi x\over L}$
32
$C(x)=\dst-{2L^4\over5}-{48L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{1+(-1)^n2\over n^4}\cos{n\pi x\over L}$
33
$C(x)=\dst{3L^4\over5}-{48L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{2+(-1)^n\over n^4}\cos{n\pi x\over L}$
34
$\dst C(x)={L^4\over30}-{3L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^4}\cos{2n\pi x\over L}$
36
$S(x)=\dst{8L^2\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^3} \sin{(2n-1)\pi x\over L}$
37
$S(x)=\dst-{4L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{(1+(-1)^n2)\over n^3} \sin{n\pi x\over L}$
38
$S(x)=\dst-{12L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^3} \sin{n\pi x\over L}$
39
$S(x)=\dst{96L^4\over\pi^5}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^5}\sin{(2n-1)\pi x\over L}$
40
$S(x)=\dst-{720L^5\over\pi^5}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^5}\sin{n\pi x\over L}$
41
$S(x)=\dst-{240L^5\over\pi^5}\sum_{n=1}^\infty{1+(-1)^n2\over n^5}\sin{n\pi x\over L}$
43
$C_M(x)=-\dst{64L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^3}\left[ (-1)^n+{3\over(2n-1)\pi}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
44
$C_M(x)=-\dst {32L^2\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over (2n-1)^3}\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
45
$C_M(x)=-\dst{96L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^3}\left[ (-1)^n+{2\over(2n-1)\pi}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
46
$C_M(x)=\dst{96L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^3}\left[ (-1)^n3+{4\over(2n-1)\pi}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
47
$C_M(x)=\dst{96L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^3}\left[ (-1)^n5+{8\over(2n-1)\pi}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
48
$C_M(x)=-\dst{384L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^4}\left[ 1+{(-1)^n4\over(2n-1)\pi}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
49
$C_M(x)=-\dst{768L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^4}\left[ 1+{(-1)^n2\over(2n-1)\pi}\right]\cos{(2n-1)\pi x\over2L}$
51
$S_M(x)=\dst {32L^2\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{1\over (2n-1)^3}\sin{(2n-1)\pi x\over2L}$
52
$S_M(x) =\dst-{96L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty {1\over(2n-1)^3}\left[1+(-1)^n{4\over(2n-1)\pi}\right]\sin{(2n-1)\pi x \over2L}$
53
$S_M(x) =\dst{96L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty {1\over(2n-1)^3}\left[1+(-1)^n{2\over(2n-1)\pi}\right]\sin{(2n-1)\pi x\over2L}$
54
$S_M(x)=\dst{192L^3\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over(2n-1)^4} \sin{(2n-1)\pi x\over2L}$
55
$S_M(x)=\dst{1536L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^4} \left[(-1)^n+{3\over(2n-1)\pi}\right]\sin{(2n-1)\pi x\over2L}$
56
$S_M(x)=\dst{384L^4\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^4} \left[(-1)^n+{4\over(2n-1)\pi}\right]\sin{(2n-1)\pi x\over2L}$