Chapter 5 Linear Second Order Equations

(c) \(y=-2e^{2x}+e^{5x}\) (d) \(y=(5k_0-k_1)\dst{e^{2x}\over3}+(k_1-2k_0)\dst{e^{5x}\over3}\).

(c) \(y=e^x(3\cos x-5\sin x)\) (d) \(y=e^x\left(k_0\cos x+(k_1-k_0)\sin x\right)\)

(c) \(y=e^x(7-3x)\) (d) \(y=e^x\left(k_0+(k_1-k_0)x\right)\)

(a) \(y=\dst{c_1\over x-1}+\dst{c_2\over x+1}\) (b) \(y=\dst{{2\over x-1}-{3\over x+1}};\; (-1,1)\)

(a) \(e^x\) (b) \(e^{2x}\cos x\) (c) \(x^2+2x-2\) (d) \(\displaystyle{-{5\over6}x^{-5/6}}\) (e) \(\displaystyle{-\frac{1}{x^2}}\) (f) \((x\ln|x|)^2\) (g) \(\dst{e^{2x}\over2\sqrt x}\)

\(0\)

\(W(x)=(1-x^2)^{-1}\)

\(\displaystyle{W(x)={1\over x}}\)

\(y_2=e^{-x}\)

\(y_2=xe^{3x}\)

\(y_2=xe^{ax}\)

\(y_2=\dst{1\over x}\)

\(y_2=x\ln x\)

\(y_2=x^a\ln x\)

\(y_2=x^{1/2}e^{-2x}\)

\(y_2=x\)

\(y_2=x\sin x\)

\(y_2=x^{1/2}\cos x\)

\(y_2=xe^{-x}\)

\(y_2=\dst{1\over x^2-4}\)

\(y_2=e^{2x}\)

\(y_2=x^2\)

(a) \(y''-2y'+5y=0\) (b) \((2x-1)y''-4xy'+4y=0\) (c) \(x^2y''-xy'+y=0\)

     (d) \(x^2y''+xy'+y=0\) (e) \(y''-y=0\) (f) \(xy''-y'=0\)

(c) \(y=k_0y_1+k_1y_2\)

\(y_1=1\), \(y_2=x-x_0\); \(y=k_0+k_1(x-x_0)\)

\(y_1=\cosh(x-x_0)\), \(y_2=\sinh(x-x_0)\); \(y=k_0\cosh(x-x_0)+k_1\sinh(x-x_0)\)

\(y_1=\cos\omega(x-x_0)\), \(y_2=\dst{1\over\omega}\sin\omega(x-x_0)\) \(y=k_0\cos\omega(x-x_0)+\dst{k_1\over\omega}\sin\omega(x-x_0)\)

\(y_1=\dst{1\over1-x^2}\),  \(y_2=\dst{x\over1-x^2}\) \(y=\dst{k_0+k_1x\over1-x^2}\)

(c) \(k_0=k_1=0\); \(y=\dst{\left\{\begin{array}{rr} c_1x^2+c_2x^3,x\ge 0,\\ c_1x^2+c_3x^3,x<0 \end{array}\right.}\) 

     (d) \((0,\infty)\) if \(x_0>0\), \((-\infty,0)\) if \(x_0<0\)

(c) \(k_0=0\), \(k_1\) arbitrary  \(y=k_1x+c_2x^2\)

(c) \(k_0=k_1=0\) \(y=\dst{\left\{\begin{array}{rr} a_1x^3+a_2x^4,x\ge 0,\\ b_1x^3+b_2x^4,x<0 \end{array}\right.}\) 

     (d) \((0,\infty)\) if \(x_0>0\), \((-\infty,0)\) if \(x_0<0\)

\(y=c_1e^{-6x}+c_2e^{x}\)

\(y=e^{2x}(c_1 \cos x+c_2 \sin x)\)

\(y=c_1e^{-7x}+c_2e^{-x}\)

\(y=e^{2x}(c_1+c_2x)\)

\(y=e^{-x}(c_1 \cos 3x+c_2 \sin 3x)\)

\(y=e^{-3x}(c_1 \cos x+c_2 \sin x)\)

\(y=e^{4x}(c_1+c_2x)\)

\(y=c_1+c_2e^{-x}\)

\(y=e^x(c_1 \cos \sqrt{2}x+c_2 \sin \sqrt{2} x)\)

\(y=e^{-3x}(c_1\cos 2x+c_2\sin 2x)\)

\(\dst{y=e^{-x/2}\left(c_1\cos {3x\over2}+c_2\sin {3x\over2}\right)}\)

\(y=c_1e^{-x/5}+c_2e^{x/2}\)

\(y=e^{-7x}(2 \cos x - 3 \sin x)\)

\(y=4e^{x/2}+6e^{-x/3}\)

\(y=3e^{x/3}-4e^{-x/2}\)

\(y=\dst{e^{-x/2}\over 3}+\dst{3e^{3x/2}\over4}\)

\(y=e^{3x/2} (3-2x)\)

\(y=3e^{-4x}-4e^{-3x}\)

\(y=2xe^{3x}\)

\(y=e^{x/6}(3+2x)\)

\(\dst{y=e^{-2x}\left(3 \cos \sqrt{6} x+{2 \sqrt{6} \over 3} \sin \sqrt{6} x\right)}\)

\(y=2e^{-(x-1)}-3e^{-2(x-1)}\)

\(y=\dst{{1\over3}e^{-(x-2)}-{2\over3}e^{7(x-2)}}\)

\(y=e^{7(x-1)}\left(2-3(x-1)\right)\)

\(y=e^{-(x-2)/3}\left(2-4(x-2)\right)\)

\(y=\dst{2\cos {2\over3}\left(x-{\pi\over4}\right)-3\sin {2\over3}\left(x-{\pi\over4}\right)}\)

\(y=\dst{2\cos \sqrt3\left(x-{\pi\over3}\right)-{1\over\sqrt3}\sin \sqrt3\left(x-{\pi\over3}\right)}\)

\(y=\dst{{k_0\over r_2-r_1}\left(r_2e^{r_1(x-x_0)}-r_1e^{r_2(x-x_0)}\right)+{k_1\over r_2-r_1} \left(e^{r_2(x-x_0)}-e^{r_1(x-x_0)}\right)}\)

\(y=e^{r_1(x-x_0)}\left[k_0+(k_1-r_1k_0)(x-x_0)\right]\)

\(y=\dst{e^{\lambda(x-x_0)}\left[k_0\cos\omega(x-x_0)+\left(k_1-\lambda k_0 \over\omega\right)\sin\omega(x-x_0)\right]}\)

\(y_p=-1+2x+3x^2\); \(y=-1+2x+3x^2+c_1e^{-6x}+c_2e^{x}\)

\(y_p=1+x\); \(y=1+x+e^{2x}(c_1\cos x+c_2\sin x)\)

\(y_p=-x+x^3\); \(y=-x+x^3+c_1e^{-7x}+c_2e^{-x}\)

\(y_p=1-x^2\); \(y=1-x^2+e^{2x}(c_1+c_2x)\)

\(y_p=2x+x^3\); \(y=2x+x^3+e^{-x}(c_1\cos3x+c_2\sin3x)\);

     \(y=2x+x^3+e^{-x}(2\cos3x+3\sin3x)\)

\(y_p=1+2x\); \(y=1+2x+e^{-3x}(c_1\cos x+c_2\sin x)\); \(y=1+2x+e^{-3x}(\cos x-\sin x)\)

\(y_p=\dst{2\over x}\)

\(y_p=4x^{1/2}\)

\(y_p=\dst{x^3\over2}\)

\(y_p=\dst{1\over x^3}\)

\(y_p=9x^{1/3}\)

\(y_p=\dst{2x^4\over13}\)

\(y_p=\dst{e^{3x}\over3}\); \(y=\dst{e^{3x}\over3}+c_1e^{-6x}+c_2e^{x}\)

\(y_p=e^{2x}\); \(y=e^{2x}(1+c_1\cos x+c_2\sin x)\)

\(y=-2e^{-2x}\); \(y=-2e^{-2x}+c_1e^{-7x}+c_2e^{-x}\); \(y=-2e^{-2x}-e^{-7x}+e^{-x}\)

\(y_p=e^{x}\); \(y=e^{x}+e^{2x}(c_1+c_2x)\); \(y=e^x+e^{2x}(1-3x)\)

\(y_p=\dst{4\over45}e^{x/2}\); \(y=\dst{4\over45}e^{x/2}+e^{-x}(c_1\cos3x+c_2\sin3x)\)

\(y_p=e^{-3x}\); \(y=e^{-3x}(1+c_1\cos x+c_2\sin x)\)

\(y_p=\cos x-\sin x\); \(y=\cos x-\sin x+e^{4x}(c_1+c_2x)\)

\(y_p=\cos2x-2\sin2x\); \(y=\cos2x-2\sin2x+c_1+c_2e^{-x}\)

\(y_p=\cos3x\); \(y=\cos3x+e^x(c_1\cos \sqrt{2}x+c_2\sin \sqrt{2} x)\)

\(y_p=\cos x+\sin x\); \(y=\cos x+\sin x+e^{-3x}(c_1\cos 2x+c_2\sin 2x)\)

\(y_p=-2\cos2x+\sin2x\); \(y=-2\cos2x+\sin2x+c_1e^{-4x}+c_2e^{-3x}\)

       \(y=-2\cos2x+\sin2x+2e^{-4x}-3e^{-3x}\)

\(y_p=\cos3x-\sin3x\); \(y=\cos3x-\sin3x+e^{3x}(c_1+c_2x)\)

     \(y=\cos3x-\sin3x+e^{3x}(1+2x)\)

\(y=\dst{1\over\omega_0^2-\omega^2}(M\cos\omega x+N\sin\omega x)+c_1\cos\omega_0x+c_2\sin\omega_0x\)

\(y_p=-1+2x+3x^2+\dst{e^{3x}\over3}\); \(y=-1+2x+3x^2+\dst{e^{3x}\over3}+c_1e^{-6x}+c_2e^{x}\)

\(y_p=1+x+e^{2x}\); \(y=1+x+e^{2x}(1+c_1\cos x+c_2\sin x)\)

\(y_p=-x+x^3-2e^{-2x}\); \(y=-x+x^3-2e^{-2x}+c_1e^{-7x}+c_2e^{-x}\)

\(y_p=1-x^2+e^{x}\); \(y=1-x^2+e^{x}+e^{2x}(c_1+c_2x)\)

\(y_p=2x+x^3+\dst{4\over45}e^{x/2}\); \(y=2x+x^3+\dst{4\over45}e^{x/2}+e^{-x}(c_1\cos3x+c_2\sin3x)\)

\(y_p=1+2x+e^{-3x}\); \(y=1+2x+e^{-3x}(1+c_1\cos x+c_2\sin x)\)

\(y_p=\dst{e^{3x}\left(-{1\over4}+{x\over2}\right)}\)

\(y_p=\dst{e^{-3x}\left(1-{x\over4}\right)}\)

\(y_p=\dst{e^x\left(2-{3x\over4}\right)}\)

\(y_p=e^{2x}(1-3x+x^2)\)

\(y_p=e^{-x}(1+x^2)\)

\(y_p=e^x(-2+x+2x^2)\)

\(y_p=\dst{xe^{-x}\left({1\over6}+{x\over2}\right)}\)

\(y_p=xe^x(1+2x)\)

\(y_p=\dst{xe^{3x}}\left(-1+{x\over2}\right)\)

\(y_p=xe^{2x}(-2+x)\)

\(y_p=\dst{x^2e^{-x}\left(1+{x\over2}\right)}\)

\(y_p=\dst{x^2e^x\left({1\over2}-x\right)}\)

\(y_p=\dst{{x^2e^{2x}\over2}(1-x+x^2)}\)

\(y_p=\dst{{x^2e^{-x/3}\over27}(3-2x+x^2)}\)

\(y=\dst{e^{3x}\over4}(-1+2x)+c_1e^x+c_2e^{2x}\)

\(y=e^x(1-2x)+c_1e^{2x}+c_2e^{4x}\)

\(y=\dst{e^{2x}\over5}(1-x)+e^{-3x}(c_1+c_2x)\)

\(y=xe^x(1-2x)+c_1e^x+c_2e^{-3x}\)

\(y=e^x\left[x^2(1-2x)+c_1+c_2x\right]\)

\(y=-e^{2x}(1+x)+2e^{-x}-e^{5x}\)

\(y=xe^{2x}+3e^x-e^{-4x}\)

\(y=e^{-x}(2+x-2x^2)-e^{-3x}\)

\(y=e^{-2x}(3-x)-2e^{5x}\)

\(y_p=-\dst{{e^x\over3}(1-x)+e^{-x}(3+2x)}\)

\(y_p=e^x(3+7x)+xe^{3x}\)

\(y_p=x^3e^{4x}+1+2x+x^2\)

\(y_p=xe^{2x}(1-2x)+xe^x\)

\(y_p=e^x(1+x)+x^2e^{-x}\)

\(y_p=x^2e^{-x}+e^{3x}(1-x^2)\)

\(y_p=2e^{2x}\)

\(y_p=5xe^{4x}\)

\(y_p=x^2e^{4x}\)

\(y_p=-\dst{e^{3x}\over4}(1+2x-2x^2)\)

\(y_p=xe^{3x}(4-x+2x^2)\)

\(y_p=x^2e^{-x/2}(-1+2x+3x^2)\)

(a) \(y=\dst{e^{-x}\left({4\over3}x^{3/2}+c_1x+c_2\right)}\) (b) \(y=\dst{e^{-3x}\left[{x^2\over4}(2\ln x-3)+c_1x+c_2\right]}\)

     (c) \(y=\dst{e^{2x}\left[(x+1)\ln|x+1|+c_1x+c_2\right]}\) (d) \(y=\dst{e^{-x/2}\left(x\ln|x|+{x^3\over6}+c_1x+c_2\right)}\)

(a) \(e^x(3+x)+c\) (b) \(-e^{-x}(1+x)^2+c\) (c) \(-\dst{{e^{-2x}\over8}(3+6x+6x^2+4x^3)}+c\)

     (d) \(e^x(1+x^2)+c\) (e) \(e^{3x}(-6+4x+9x^2)+c\) (f) \(-e^{-x}(1-2x^3+3x^4)+c\)

\(\dst{{(-1)^kk!e^{\alpha x}\over \alpha^{k+1}}\sum_{r=0}^k{(-\alpha x)^r\over r!}+c}\)

\(y_p=\cos x+2\sin x\)

\(y_p=\cos x+(2-2x)\sin x\)

\(y_p=e^x(-2\cos x+3\sin x)\)

\(y_p=\dst{{e^{2x}\over2}(\cos2x-\sin2x)}\)

\(y_p=-e^x(x\cos x-\sin x)\)

\(y_p=e^{-2x}(1-2x)(\cos 3x-\sin 3x)\)

\(y_p=x(\cos2x-3\sin2x)\)

\(y_p=-x\left[(2-x)\cos x+(3-2x)\sin x\right]\)

\(y_p=x\dst{\left[x\cos\left(x\over2\right) -3\sin\left(x\over2\right)\right]}\)

\(y_p=xe^{-x}(3\cos x+4\sin x)\)

\(y_p=xe^x\left[(-1+x)\cos2x+(1+x)\sin 2x\right]\)

\(y_p=-(14-10x)\cos x-(2+8x-4x^2)\sin x\).

\(y_p=(1+2x+x^2)\cos x+(1+3x^2)\sin x\)

\(y_p=\dst{x^2\over2}(\cos2x-\sin2x)\)

\(y_p=e^x(x^2\cos x+2\sin x)\)

\(y_p=e^x(1-x^2)(\cos x+\sin x)\)

\(y_p=e^x(x^2-x^3)(\cos x+\sin x)\)

\(y_p=e^{-x}\left[(1+2x)\cos x-(1-3x)\sin x\right]\)

\(y_p=x(2\cos 3x-\sin 3x)\)

\(y_p=-x^3\cos x+(x+2x^2)\sin x\)

\(y_p=-e^{-x}\left[(x+x^2)\cos x-(1+2x)\sin x\right]\)

\(y=e^x(2\cos x+3\sin x)+3e^x-e^{6x}\)

\(y=e^x\left[(1+2x)\cos x+(1-3x)\sin x\right]\)

\(y=e^x(\cos x-2\sin x)+e^{-3x}(\cos x+\sin x)\)

\(y=e^{3x}\left[(2+2x)\cos x-(1+3x)\sin x\right]\)

\(y=e^{3x}\left[(2+3x)\cos x+(4-x)\sin x\right]+3e^x-5e^{2x}\)

\(y_p=\dst{xe^{3x}-{e^x\over5}(\cos x-2\sin x)}\)

\(y_p=\dst{x(\cos x+2\sin x)-{e^x\over2}(1-x)+{e^{-x}\over2}}\)

\(y_p=\dst{-{xe^x\over2}(2+x)+2xe^{2x}+{1\over10}(3\cos x+\sin x)}\)

\(y_p=\dst{xe^x(\cos x+x\sin x)+{e^{-x}\over25}(4+5x)+1+x+{x^2\over2}}\)

\(y_p=\dst{{x^2e^{2x}\over6}(3+x)-e^{2x}(\cos x-\sin x)+3e^{3x}+{1\over4}(2+x)}\)

\(y=(1-2x+3x^2)e^{2x}+4\cos x+3\sin x\)

\(y=xe^{-2x}\cos x+3\cos2x\)

\(y=\dst{-{3\over8}\cos2x+{1\over4}\sin2x+e^{-x}-{13\over8}e^{-2x}- {3\over4}xe^{-2x}}\)

(a) \(2x\cos x-(2-x^2)\sin x+c\) (b) \(-\dst{e^x\over2}\left[(1-x^2)\cos x-(1-x)^2\sin x \right]+c\)

     (c) \(-\dst{e^{-x}\over25}\left[(4+10x)\cos 2x-(3-5x)\sin2x\right]+c\)

     (d) \(-\dst{e^{-x}\over2}\left[(1+x)^2\cos x-(1-x^2)\sin x \right]+c\)

     (e) \(-\dst{e^x\over2}\left[x(3-3x+x^2)\cos x-(3-3x+x^3)\sin x\right]+c\)

     (f) \(-e^x\left[(1-2x)\cos x+(1+x)\sin x\right]+c\) (g) \(e^{-x}\left[x\cos x+x(1+x)\sin x\right]+c\)

\(y=1-2x+c_1e^{-x}+c_2xe^x\);  \(\{e^{-x},xe^x\}\)

\(y=\dst{{4\over 3x^2}+c_1x+{c_2\over x}}\);  \(\{x,1/x\}\)

\(y=\dst{x(\ln |x|)^2\over2}+c_1x+c_2x\ln |x|\);  \(\{x,x\ln|x|\}\)

\(y=(e^{2x}+e^x) \ln(1+e^{-x})+c_1e^{2x}+c_2e^x\);  \(\{e^{2x},e^x\}\)

\(y=e^x\dst{\left({4\over5}x^{7/2}+c_1+c_2x\right)}\);  \(\{e^x,xe^x\}\)

\(y=e^x(2x^{3/2}+x^{1/2}\ln x+c_1x^{1/2}+c_2x^{-1/2})\);  \(\{x^{1/2}e^x,x^{-1/2}e^{-x}\}\)

\(y=e^x(x\sin x+\cos x\ln|\cos x|+c_1\cos x+c_2\sin x)\);  \(\{e^x\cos x,e^x\sin x\}\)

\(y=e^{-x^2}(2e^{-2x}+c_1+c_2x)\);  \(\{e^{-x^2},xe^{-x^2}\}\)

\(y=2x+1+c_1x^2+\dst{c_2\over x^2}\);  \(\{x^2,1/x^2\}\)

\(y=\dst{xe^{2x}\over9}+xe^{-x}(c_1+c_2x)\);  \(\{xe^{-x},x^2e^{-x}\}\)

\(y=xe^x\dst{\left({x\over 3}+c_1+{c_2\over x^2}\right)}\);  \(\{xe^x,e^x/x\}\)

\(y=-\dst{(2x-1)^2e^x\over8}+c_1e^x+c_2xe^{-x}\);  \(\{e^x,xe^{-x}\}\)

\(y=x^4+c_1x^2+c_2x^2\ln|x|\);  \(\{x^2,x^2\ln|x|\}\)

\(y=e^{-x}(x^{3/2}+c_1+c_2x^{1/2})\);   \(\{e^{-x},x^{1/2}e^{-x}\}\)

\(y=e^x(x+c_1+c_2x^2)\);  \(\{e^x,x^2e^x\}\)

\(y=x^{1/2}\dst{\left({e^{2x}\over2}+c_1+c_2e^x\right)}\);  \(\{x^{1/2},x^{1/2}e^x\}\)

\(y=-2x^2\ln x+c_1x^2+c_2x^4\);  \(\{x^2,x^4\}\)

\(\{e^x,e^x/x\}\)

\(\{x^2,x^3\}\)

\(\{\ln|x|,x \ln|x|\}\)

\(\{\sin\sqrt x,\cos \sqrt{x}\}\)

\(\{e^x,x^3e^x\}\)

\(\{x^a,x^a\ln x\}\)

\(\{x\sin x,x\cos x\}\)

\(\{e^{2x},x^2e^{2x}\}\)

\(\{x^{1/2},x^{1/2}\cos x\}\)

\(\{x^{1/2}e^{2x},x^{1/2}e^{-2x}\}\)

\(\{1/x,e^{2x}\}\)

\(\{e^x,x^2\}\)

\(\{e^{2x},x^2e^{2x}\}\)

\(y=x^4+6x^2-8x^2\ln|x|\)

\(y=2e^{2x}-xe^{-x}\)

\(y=\dst{(x+1)\over4}\left[-e^x(3-2x)+7e^{-x}\right]\)

\(y=\dst{x^2\over4}+x\)

\(y=\dst{{(x+2)^2\over6(x-2)}+{2x\over x^2-4}}\)

(a) \(y=\dst{-kc_1\sin kx+kc_2\cos kx\over c_1 \cos kx+c_2\sin kx}\)   (b) \(y=\dst{c_1+2c_2e^x\over c_1+c_2e^x}\)
[2]

    (c) \(y=\dst{-6c_1+c_2e^{7x}\over c_1+c_2e^{7x}}\)   (d) \(y=-\dst{7c_1+c_2e^{6x}\over c_1+c_2e^{6x}}\)

    (e) \(y=-\dst{(7c_1-c_2)\cos x+(c_1+7c_2)\sin x\over c_1\cos x+c_2\sin x}\)

    (f) \(y=\dst{-2c_1+3c_2e^{5x/6}\over 6(c_1+c_2e^{5x/6})}\)   (g) \(y=\dst{c_1+c_2(x+6)\over6(c_1+c_2x)}\)

(a) \(y=\dst{{c_1+c_2e^x(1+x)\over x(c_1+c_2e^x)}}\)  (b) \(y=\dst{{-2c_1x+c_2(1-2x^2)\over c_1+c_2x}}\)
[2]

    (c) \(y=\dst{{-c_1+c_2e^{2x}(x+1)\over c_1+c_2xe^{2x}}}\)  (d) \(y=\dst{{2c_1+c_2e^{-3x}(1-x)\over c_1+c_2xe^{-3x}}}\)

    (e) \(y=\dst{{(2c_2x-c_1)\cos x-(2c_1x+c_2)\sin x \over 2x(c_1\cos x+c_2\sin x)}}\)   (f) \(y=\dst{c_1+7c_2x^6\over x(c_1+c_2x^6)}\)

\(y_p=\dst{-\cos 3x\ln|\sec 3x+\tan 3x|\over9}\)

\(y_p=\dst{-{\sin 2x\ln|\cos 2x|\over4} +{x\cos 2x\over2}}\)

\(y_p=4e^x(1+e^x) \ln(1+e^{-x})\)

\(y_p=3e^x(\cos x \ln |\cos x|+x\sin x)\)

\(y_p=\dst{8\over 5} x^{7/2}e^x\)

\(y_p=e^x\ln(1-e^{-2x})-e^{-x}\ln(e^{2x}-1)\)

\(y_p=\dst{2(x^2-3)\over3}\)

\(y_p=\dst{e^{2x}\over x}\)

\(y_p=x^{1/2}e^x\ln x\)

\(y_p=e^{-x(x+2)}\)

\(y_p=-4x^{5/2}\)

\(y_p=-2x^2\sin x-2x\cos x\)

\(y_p=-\dst{xe^{-x}(x+1)\over2}\)

\(y_p=-\dst{\sqrt x\cos\sqrt x\over2}\)

\(y_p=\dst{3x^4e^x\over2}\)

\(y_p=x^{a+1}\)

\(y_p=\dst{x^2\sin x\over 2}\)

\(y_p=-2x^2\)

\(y_p=-e^{-x}\sin x\)

\(y_p=-\dst{\sqrt x\over2}\)

\(y_p=\dst{x^{3/2}\over4}\)

\(y_p=-3x^2\)

\(y_p=\dst{x^3e^x\over2}\)

\(y_p=-\dst{4x^{3/2}\over15}\)

\(y_p=x^3e^x\)

\(y_p=xe^x\)

\(y_p=x^2\)

\(y_p=xe^x(x-2)\)

\(y_p=\dst{\sqrt xe^x(x-1)/4}\)

\(y=\dst{e^{2x}(3x^2-2x+6)\over6}+\dst{xe^{-x}\over3}\)

\(y=(x-1)^2\ln(1-x)+2x^2-5x+3\)

\(y=(x^2-1)e^x-5(x-1)\)

\(y=\dst{x(x^2+6)\over3(x^2-1)}\)

\(y=\dst{ -{x^2\over 2}+x+{1\over 2x^2}}\)

\(y=\dst{x^2(4x+9)\over6(x+1)}\)

(a) \(y=k_0\cosh x+k_1\sinh x+\dst{\int_0^x}\sinh (x-t)f(t)\,dt\)

      (b) \(y'=k_0\sinh x+k_1\cosh x+\dst{\int_0^x}\cosh (x-t)f(t)\,dt\)

(a) \(y(x)=k_0\cos x+k_1\sin x+\dst{\int_0^x}\sin (x-t)f(t)\,dt\)

     (b) \(y'(x)=-k_0\sin x+k_1\cos x+\int_0^x\cos (x-t) f(t)\,dt\)